근들이 유리수의 거듭제곱근 체확장의 수로 표현된다.
표현되는 방법이 식의 종류와 상관없이 유일.
유리계수 5차방정식 중 근이 거듭제곱근 체확장으로 표현될 수 없는 경우가 존재함을 보인다.
해당 군의 부분군으로 이루어진 조성열이 존재.
군의 열에 나오는 모든 부분군이 가환
일 때 해당 군을 가해군이라 한다.
근들이 거듭제곱근 체확장으로 표현된다면, 이에 대응하는 갈루아 군 \(G(K/F)\)는 가해군임을 보인다.
다음을 만족하는 유리계수 5차방정식이 존재한다.
근들로 만들어진 거듭제곱근 체확장에 대응하는 갈루아 군 \(G(K/F)\)이 \(S_5\)와 동형이다.
\(A_5\)는 단순군이다. 따라서 \(A_5\)의 비자명 부분군은 없다.
\(A_5\)는 비가환군이다. (1 2 3)(2 3 4) \(\neq\) (2 3 4) (1 2 3) 이기 때문이다.
\(I \subset A_5 \subset S_5\) 가 \(S_5\)의 유일한 조성열이고 \(A_5\)는 비가환이므로 \(S_5\)는 가해군이 아니다.
다음과 같은 5차방정식이 존재한다.
근들로 만들어진 거듭제곱근 체확장에 대응하는 갈루아 군이 가해군이 아니다.
따라서 이 5차방정식의 근들은 거듭제곱근 체확장으로 표현할 수 없다. 이는 근의 공식이 존재하지 않는다는 결론으로 이어진다.
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